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EJERCICIOS DE RELACIÓN Y REGRESIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS:

1. En un grupo de estudiantes de Psicología matemática I, un test de razonamiento numérico, X, con media 24 y desviación típica 14, explica el 64% de la varianza de las calificaciones en el examen final de la asignatura, Y, con media de 18 puntos y varianza 49. Calcular:

  1. La correlación entre las dos variables, sabiendo que rxy>0.
  2. La calificación que pronosticaremos a un alumno que en el test obtiene 10 puntos.
  3. La puntuación en el test de un alumno que en el examen está a una desviación típica por debajo de la media.

SOLUCIÓN

2. La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e Y.

X:

6

3

7

5

4

2

1

Y:

7

6

2

6

5

7

2


Calcule:

  1. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y
  2. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas
  3. La varianza de Y (s2y3pf98.gif (886 bytes)), la varianza de las puntuaciones pronosticadas (s2ypri.gif (890 bytes)) y la varianza error (s2yxf98.gif (896 bytes)

SOLUCIÓN

3.- Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se muestran en la tabla:

X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13

Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10

  1. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje de variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?.

  2. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos un valor de 10?

  3. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X, ¿qué valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).

SOLUCIÓN

4. Dada la ecuación de regresión lineal simple Y’i = a + bXi, conocemos para un sujeto sus puntuaciones directas, diferenciales y típicas en X e Y’, según se muestra en la siguiente tabla:

 

Tipo de puntuación

 

Directa

Diferencial

Típica

X

7

2

1

Y’

10

2

0’5


Calcular:

  1. Las ecuaciones de regresión en puntuaciones diferenciales, directas y típicas.
  2. La media de X y la media de Y
  3. La varianza de Y

SOLUCIÓN

5.- Las rectas de regresión del rendimiento, Y, a partir del número de horas semanales dedicadas al estudio, X, - en puntuaciones directas, diferenciales y típicas- son, respectivamente:

Y’=0,8X+2

y’=0,8 x

zy’=0,8 zx


Sabiendo que 2senun3.gif (922 bytes), calcular:

  1. La media de X y el pronóstico en Y para un sujeto con X=8.
  2. El porcentaje de varianza del rendimiento explicada por el número de horas semanales dedicadas al estudio.
  3. El número de horas dedicadas al estudio pronosticadas de un alumno que en rendimiento obtiene la puntuación 13.

SOLUCIÓN

6. A partir de una muestra representativa se sabe que las variables X (edad de casamiento de las mujeres) e Y (edad de casamiento de los hombres) tienen como medias 27 y 32 años, respectivamente, y que sus desviaciones típicas son Sx=4 y Sy=5. Se sabe, además, que la covarianza entre ambas variables es 15.

  1. Calcular, en puntuaciones directas, la recta que nos permite pronosticar Y a partir de X
  2. Cuánto valdrá la varianza de los errores de los pronósticos utilizando la recta del apartado anterior
  3. Si sumamos 3 años a todas las mujeres que han intervenido en la muestra y restamos 1 año a todos los varones ¿Cuánto valdrá el coeficiente de correlación entre X e Y? ¿Cuál será la nueva ecuación de regresión, en puntuaciones directas, de Y sobre X?

SOLUCIÓN

7. De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes datos que se muestran en la tabla:

Calcular:

a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.

b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y.

c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.

SOLUCIÓN

8.- En un experimento psicofísico de estimación de magnitudes, se presentan a un sujeto los siguientes estímulos el número de veces que se indica en la siguiente tabla para que estimen su magnitud percibida, Y:

Estímulos: X

40

45

50

55

60

65

70

Frecuencia

3

4

4

2

3

2

2

El valor pronosticado para un estímulo de intensidad, X = 50, es Y'= 28. Sabiendo que las estimaciones realizadas por los sujetos tienen media 60 y desviación típica 107,15. Determinar:

  1. La ecuación de regresión de Y sobre X.

  2. La correlación de Pearson entre las intensidades estimulares y las magnitudes percibidas.

  3. La varianza de los errores.

SOLUCIÓN

9.- Un descuidado investigador está consultando un listado incompleto de los resultados de un experimento realizado hace tiempo. Deduce que la ecuación de regresión es Y´=3+0.2X y que la media de X vale 20, y también tiene una tabla en la que anotó la media y la varianza de las siguientes 4 variables: X,  Y,  Y´ , Y-Y´. Pero además de estar incompleta utilizó una notación distinta y no recuerda el nombre que dio a cada una de esas variables. La tabla es:

  VD P E VI
Media     0 20
Varianza 4 2,56 1,44  

Contestar las siguientes cuestiones:

  1. Puntuación pronosticada en Y para una X=22 en puntuaciones directas y diferenciales.
  2. Identificar, razonadamente, a cada una de las variables que aparecen en la tabla
  3. Averiguar el valor de los datos que faltan en la tabla. 

SOLUCIÓN

10.- Se sabe que la recta que permite pronosticar las puntuaciones en matemáticas (Y), a partir de un test de razonamiento (X), tiene la siguiente expresión: Y' = 2 X - 80. Sabiendo que rxy = 0,8 y Sy = 4 conteste las siguientes preguntas

  1. ¿Qué puntuación directa pronosticaremos en Y a una persona que ha obtenido una puntuación X = 44?
  2. ¿Cuál será la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones diferenciales y típicas?
  3. ¿Cuál será la ecuación de regresión de X sobre Y en puntuaciones típicas y diferenciales?

SOLUCIÓN

11.- Utilizando la ecuación de regresión para pronosticar la comprensión verbal a partir de las puntuaciones de un test, pronosticamos la puntuación Y´=83 para el sujeto que obtiene en el test 10 puntos y la puntuación Y´=123 al que obtiene en el test 15 puntos. Sabiendo, además, que la varianza de las puntuaciones en el test es 64 y que la desviación típica de las puntuaciones de Y es 100, calcula:

  1. La ecuación de regresión de Y sobre X.

  2. La varianza de los errores.

  3. La puntuación típica pronosticada al sujeto que en el test está a 1,3 desviaciones típicas por debajo de la media.

SOLUCIÓN

12. Tenemos dos variables, X: "Tiempo de espera en la parada de un autobús" e Y: "Percepción del tiempo de espera en la parada del autobús". Se sabe que la proporción de varianza de Y no asociada a X es 0,4375 y que la pendiente en diferenciales de la recta de regresión para pronosticar Y a partir de X es 0,25. Teniendo en cuenta que la varianza de los errores en los pronósticos de Y a partir de X es 1,75, calcular:

  1. El coeficiente de correlación de Pearson entre Y y X
  2. La varianza de los pronósticos de de Y a partir de X
  3. La varianza de Y y la varianza de X.

SOLUCIÓN

13. En un grupo de niños, una prueba de fluidez verbal, X, con media 80 y desviación típica 8, no explica el 19% de la varianza de las calificaciones en el examen final de la asignatura de lengua española, Y, con media de 6,5 puntos y varianza 25. Calcular:

  1. La correlación entre las dos variables, sabiendo que la pendiente de la recta de regresión de Y sobre X es mayor que 0.

  2.  La ecuación de regresión, en puntuaciones directas, que nos permite pronosticar Y a partir de X

  3. La calificación que pronosticaremos a un alumno que en el test obtiene 70 puntos.

SOLUCIÓN

14.- Se sabe que para los niños comprendidos entre 1 y 10 años existe una relación lineal entre el peso (en kg) y la altura (en cms), de tal manera que a un niño con un peso de 10 kg le corresponde una altura de 50 cms. y a un niño de 30 kg le corresponde una altura de 120 cms. Con estos datos:

  1. ¿Cuál es la ecuación de regresión, en puntuaciones directas y diferenciales, que nos permite pronosticar la altura (Y) a partir del peso (X) de un niño?

  2. Conociendo que Sy=5,25 y Sx=1,2 ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y?

  3. ¿Cuánto vale la desviación típica de los errores en los pronósticos en la altura a partir del peso?

SOLUCIÓN

15.- En una prueba de selección, X, cinco aspirantes obtuvieron las siguientes puntuaciones diferenciales: -3, -1, 0, 1, 3. Si la varianza de las puntuaciones pronosticadas en el rendimiento, Y, es 3,24 y la de los errores de pronóstico es de 0,76 determine:

  1. La varianza de las puntuaciones en la asignatura Y.

  2. La correlación entre las puntuaciones de selectividad y la de la asignatura.

  3. Las puntuaciones diferenciales en la asignatura Y que pronosticaremos a esto cinco alumnos.

SOLUCIÓN

16.- Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus puntuaciones fueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos que reconocieran un conjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de calcular la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X, se sabe que para una puntuación típica de 1,2 en X se pronosticaría una puntuación típica de 0,888 en Y. También se sabe que la desviación típica de las puntuaciones pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular:

  1. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y

  2. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y a partir de X

  3. La varianza de los errores del pronóstico.

SOLUCIÓN

 17. En la Tabla 1 aparecen los datos de un experimento de estimación de magnitud de pesos. En este tipo de tareas, el sujeto debe sopesar los objetos que se le presentan y proporcionar una estimación del peso de los mismos. En la Tabla 1, la variable X representa el peso real (medido en Kg.), mientras que la variable Y representa los valores numéricos proporcionados por un observador.

Tabla 1

X

1

3

4

6

8

Y

1

2

4

4

5


  1. Ajustar una recta, por el método de mínimos cuadrados, a los datos de la Tabla 1 utilizando X como variable dependiente.
  2. Determine la covarianza de X e Y utilizando para ello rxy.
  3. Estime, según la recta de regresión, el peso real que tendrá un objeto para el que se ha proporcionado una estimación de 2 unidades y su error de estimación.

SOLUCIÓN